Estatística

Histórico

A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros eram utilizados para principalmente cobrar impostos.


Estatística

A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão.

Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.

Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística.

Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença.

Método Estatístico (Pesquisa)

Exemplos:
- Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto
- As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha
- Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação
- A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos

A pesquisa é composta basicamente de 5 fases

1) Coleta de Dados
Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo, inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta.

A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos, importação, registros escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de questionários (ex: censo).

A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional

A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex: mortalidade infantil)

2) Crítica dos Dados
Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de não causarem erro nos resultados.

3) Apuração dos Dados
É o processamento dos dados obtidos

4) Exposição dos Dados
Através de tabelas ou gráficos, tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico.

5) Análise dos Resultados

Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo.

Variável

Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser qualitativa, quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa, quando seus valores são expressos em números.

População

A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo.

Amostra
A população estatística pode ser finita ou infinita.

Tabelas
São quadros que resumem conjuntos de observações.

Gráfico Estatístico
É uma forma de representar dados estatísticos de modo que permita ao pesquisador e ao público em geral, uma percepção rápida e viva dos dados pesquisados.
Portanto, a função do um gráfico é comunicar informações visualmente. Há diferentes tipos de gráficos que, diariamente, podem ser encontrados em jornais, revistas e até na televisão.


Exercícios

1)Dada a tabela, construa os gráficos da tabela em barras múltiplas.

2) A superfície dos cinco oceanos é dada no quadro seguinte:

a) Construa um gráfico de setores.

3) A massa (em quilogramas) de 20 trabalhadores de uma empresa com 100 funcionários está registrada a seguir:
Com base nos dados obtidos, responda:
a) Qual a população e a unidade estatística dessa pesquisa?

b) Qual é sua amostra?


c) Qual é a variável nessa pesquisa?


d) Que freqüências absolutas têm os valores 65 kg, 75 kg, 80 kg e 90 kg ?

4)Numa pesquisa de opnião pública com 800 telespectadores sobre o programa de televisão de sua preferência, obteve-se a seguinte tabela:
I) Construa um quadro com distribuição de freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

II) construa um gráfico de barras verticais e de setores.

5)Um dado foi jogado 20 vezes. Em cada jogada foram obtidos os seguintes numeros:

I) Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

II) Observando a tabela, responda:

a) Quantas vezes o número 3 foi obtido no dado ?
b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5 ?
c) Qual o índice, em porcentagem, em que o número 6 foi obtido no dado ?
Qual o índice de porcentagem, em que números maiores que 4 foram obtidos no dado ?

Série de Pagamentos

SÉRIES DE PAGAMENTOS:

Também conhecido como seqüência de pagamentos, equivalência de capitais ou simplesmente rendas, série de pagamentos é o capítulo de nossa disciplina que se dedica ao estudo da formação de um montante ou da liquidação de uma dívida através de pagamentos parcelados (prestações).
Dentre os vários tipos de séries existentes, vejamos primeiramente a série de pagamentos uniformes.

As principais características das rendas uniformes são:
1ª) As prestações têm que ser iguais e sucessivas durante todo o período da renda;
2ª) Os períodos da renda têm que ser iguais e constantes durante todo o período;
3ª) A taxa envolvida no cálculo de renda tem que ser sempre uma taxa efetiva (taxa
de juros compostos) e compatível com a periodicidade da renda.

Grupos de rendas uniformes:
O cálculo da renda é dividido em dois grupos cuja a identificação se dá pelo cálculo a ser procurado; ou seja, se a procura for para valores presentes (PV) então estamos praticando amortizações.
Se o cálculo estiver voltado à procura de valores futuros (FV) então estamos praticando capitalizações.

-Vejamos o diagrama que representa o cálculo do valor futuro ( FV ) com base na prestação ( PMT ):









Sendo informados uma taxa ( i ), um prazo ( n ) e o valor do pagamento ou prestação ( PMT ) de uma série uniforme de pagamento postecipada, será possível calcular o valor futuro ( FV ) .
















FÓRMULAS




















EXERCÍCIOS

1)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos, daqui a um mês.

2)Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1.000,00 e que o prazo é de 4 meses.


3)Qual o valor da motocicleta que está sendo vendida em 6 pagamentos iguais de R$850,00, sendo o primeiro efetuado no ato, a uma taxa de 6% ao mês?



Observemos o seguinte:
a) Como foi definido em “entradas”, o primeiro pagamento se dá no momento 0, ou seja, no ato da compra;
b) A característica mais importante de ser observada é que o PV sempre cairá sobre o
primeiro pagamento, independentemente da posição deste na série.
c) Excluindo o primeiro pagamento, todos os demais sofrem incidência de juros.

4)Qual o valor da prestação que está sendo pedida pela compra de uma geladeira que custa R$1.300,00, financiada em 10 parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra, todas capitalizadas à uma taxa de 151,817% a.a.?

5)Qual o valor do financiamento que está sendo liquidado em cinco pagamentos iguais de R$1.000,00, sendo o primeiro efetuado no ato, capitalizados a 10% ao mês.

6)Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

7)Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?

8)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos.

9)Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado
após este período?

10) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

11)Determinar o valor de um financiamento realizado à taxa de 1,5% ao mês e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 700,00.

12)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicados à taxa de 2% ao mês, durante 11 meses, produz um montante de R$ R$ 15.000,00.

13)Um produto é comercializado por R$ 1.000,00 a vista. Qual será o valor da prestação, se o comprador financiar em 6 prestações iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês?

Desconto Simples e Composto

Desconto Simples

Desconto Comercial Simples (por fora)

O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:
Na expressão para cálculo do desconto simples temos:

d = valor do desconto
N = valor nominal do título ( valor futuro)
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)

Então:
d = N . i . n

Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de determinar o valor atual comercial, que é dado por:
A = N – d,

lembrando que d = N . i. n.
A = N – N . i. n
A = N(1 – i n)
Obs: A= Valor Atual ( valor presente )

É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título.

Exercícios

1)Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. Determine:

a) o valor do desconto simples comercial.
b) o valor atual comercial do título.

2) Um título no valor de R$ 4 800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4 476,00 e a taxa de desconto comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate.

Desconto Racional Simples (Por Dentro)






Exercícios

1) determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 135 u.m, pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês.

2) Um título de 200 u.m sofreu o desconto racional de 20% a.a., 4 meses e 12 dias do vencimento. Determine:
a)O desconto
b) Valor atual

3) Qual o valor de um título de valor nominal equivalente a 180 u.m , 3 meses antes do vencimento, pelo desconto de 2% ao mês ?

4) Um título de valor nominal igual a 75 u.m., sofreu o desconto racional de 1,5% a.m., um mês e 17 dias antes do vencimento. Qual o valor atual ?

Desconto Racional Composto (por dentro)

Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia
Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C(1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional compostos, vamos dizer que:






Onde temos:
A = valor atual (valor Presente )
N = valor nominal (valor Futuro)
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)

Exercícios

1) Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8 000,00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor atual composto, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.

2) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual o valor atual?

3) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto?

Desconto Comercial Composto (Por Fora)

Exercício

1) Um título de valor nominal igual a R$ 10 000,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento segundo o critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa a de desconto composto é de 10% a.m., qual o valor do desconto ?

Exercícios da Prova

Obs: Entregar na próxima Quinta - Feira


Avaliação de Métodos Quantitativos Aplicados a Administração

1º ) Considerando a função f(x)= x2- 16, determine:
a)Classificação de máximo ou mínimo.
b) As raízes
c) As coordenadas do vértice
d) f(20) e f(-13)
e) Conjunto imagem
f) Gráfico Cartesiano

2º) Dados os conjuntos A= { 0, 1, 2, 3 } e B= { 0, 2, 4, 5, 8, 13 } e a relação R= {(x,y) є A X B / y= x2 +4 }, determinar :
a) Os pares ordenados da relação R.
b) Os Conjuntos: domínio, contradomínio e imagem.
c) O diagrama de flechas.

3º) Observe o gráfico abaixo, determine:
a) As raízes
b) As coordenadas do vértice
c) Conjunto imagem
d) Classificação de máximo ou mínimo

















4º) O gráfico a seguir mostra a relação entre a quantidade x litros de xampu produzida e o custo C(x), em R$, da produção caseira.

a) Variável independente e a dependente.
b) Qual o gasto para se produzir 100 litros de xampu?
c) O custo para se produzir 0 litros de xampu ?

Porcentagem

-A razão cujo denominador é 100 recebe o nome de razão centesimal.
-São Exemplos de razão centesimal:30/100, 4/100, 135/100 e 27,9/100
Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais.30/100 = 30%, 4/100 = 4%, 135/100 = 135% e 27,9/100 = 27,9%
Tais razões estão expressas em taxas percentuais.

Exemplo 1:
- De um grupo de 100 jovens, 30 praticam basquete. Isso significa que 30% (Lê-se “trinta por cento”) dos jovens praticam basquete.

Exemplo 2:
- Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito; A razão entre o número de lâmpadas é dada por:
13/50 :. 26/100 = 26%
O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas deveríamos encontrar 26 com defeito.
- O número 26/100 = 26% é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas e o número 26 é a porcentagem de lâmpadas com defeito.


Exercícios de Fixação

1º) Escreva as seguintes frações na forma de porcentagem.
a) 34/100
b) 9/10
c) 1/4
d) 2/5

2º) Transforme cada numero decimal a seguir na forma de porcentagem.
a)0,56
b) 0,07
c)1,25
d) 3,04

3º Escreva cada porcentagem na forma de decimais.
a) 6%
b) 18%
c) 90%
d) 6,25%
e) 74,38%
f) 153%

4º) Dos 35 candidatos que prestaram um concurso, 28 foram aprovados. Qual a porcentagem de aprovados?
Res:

5º) Uma tinha 600 funcionários. Este ano o número de funcionários aumentou em 15%. Quantos funcionários tem a fábrica agora ?
Res:

6º) Edgar teve um aumento de 8% e passou a receber R$ 1680,00. Qual era seu salário antes do reajuste ?
Res:

7) Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê – lo por R$ 25.000,00, qual será minha porcentagem de lucro ?
Res:

8)Um produto foi vendido, com um lucro bruto total de 30%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro liquido comercial é de :
Res:

9) Um cliente obteve do comerciante um desconto de 30 % no preço da mercadoria. Sabendo – se que o comerciante reajustou a mercadoria em 30%, pode se afirmar que ouve por parte do comerciante um ... ?
Res:

10) Maria vendeu um relógio por R$ 18 167,50 com prejuízo de 15,5 % sobre o preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:
Res:

11) O salário de Barnabé era de x reais em janeiro. Em Maio, ele recebeu um aumento de 20% e outro de 15%, em Novembro. Seu salário atual é de R$ 2.208,00. Calcule o salário de Barnabé em janeiro.
Res:

12) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 6.000,00 incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo – se que a aliquota do imposto é de 15%, determine o valor do imposto.
Res:

13) Calcular os juros referentes às aplicações de R$ 400.000,00 ,R$ 200.000,00 e R$ 800.000,00, pelos prazos de 5 dias, 10 dias e 15 dias, respectivamente, sabendo que a taxa de juros simples considerada é de 180% a.a.
Res:

14) Um investidor aplicou seu capital de R$ 12.000.000,00 da seguinte forma:
R$ 6.000.000,00 a 40% a.m
R$ 4.000.000,00 a 60% a.m
R$ 2.000.000,00 a 90% a.m
Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para obter o mesmo rendimento ?
Res:

Juros Simple e Compostos

Juros: Suponhamos que uma pessoa deseje comprar uma geladeira e não disponha de dinheiro suficiente para pagamento à vista. Nessas condições ela pode efetuar um empréstimo em banco. Em qualquer um desses casos, a pessoa paga uma quantia. Além do preço da geladeira. A título de juros.O valor desses juros é justificado pelo prazo obtido para o pagamento ou “aluguel” do dinheiro emprestado.
Há outras situações em que aparecem juros. Por exemplo:Se uma pessoa dispõe de uma importância, com dinheiro ela pode aplicá-la em uma caderneta de poupança ou em, outro tipo de investimento.A fim de certo período, ela receberá do banco a importância aplicada, acrescido de juros de um valor referente ao juros da aplicação.
Normalmente, quando se realiza alguma operação desse tipo, fica estabelecida uma taxa de juros por um período (mês, dia, ano), a qual incide sobre o valor da aplicação ou transação chamado capital.

Tipos de Juros:
Os Juros Simples - São acréscimos que são somados ao capital inicial no final da aplicação
Juros Compostos - São acréscimos que são somados ao capital, ao fim de cada período de aplicação, formando com esta soma um novo capital.
Capital é o valor que é financiado, seja na compra de produtos ou empréstimos em dinheiro.

A grande diferença dos juros é que no final das contas quem financia por juros simples obtem um montante (valor total a pagar) inferior ao que financia por juros compostos.

A fórmula do Juro Simples é: j = C. i. n
A formula do montante é dada por:
M = C + J
M = C + C.i.t
M = C(1+i.n)
Onde:
j = juros, C = capital, i = taxa, n = tempo , M = montante

A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)n
Onde:
M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, n = tempo.

Diferença entre Juro Simples e Composto:

Vejamos o exemplo: Seja um principal de R$1.000,00 aplicado à taxa de 20% ao ano, por um período de 4 anos a juros simples e compostos.

Exercícios de fixação

1 ) Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

2) Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00 , se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.m ?
Res:

3) Calcule a taxa de juros simples de aplicação, sabendo que apliquei R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00 , depois de 4 meses .
Res:

4)Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 1,5% durante um ano?
Res:

5)Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de R$ 15.237,43? (fórmula do juros composto)

Res:

6 )Uma pessoa toma emprestado R$1.000,00, a juros de 2% a.m. pelo.prazo de 10 meses com
capitalização composta. Qual o montante a ser pago?
Res:

7) Um capital de $200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante após 5 anos.

8) O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
Res:

9)Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
Res:

10) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz um montante de R$ 43.894,63 ao final de um quadrimestre.
Res:

11) Calcule mensalmente por um período de 10 meses o montante dos juros simples e composto de um capital inicial R$ 500,00 a uma taxa de 10% a.m. Determine o gráfico cartesiano dos montantes num mesmo gráfico.

Razão e Proporção

1- Razão e Proporção
Sejam dois números Reais "a e b" com b diferente de 0 chama-se razão entre a pertence a b (nessa ordem) o quociente a:b ou a/b.O número a é denominado antecedente (numerador)e b é o consequente (denominador).
Exemplo 1 :
A razão entre 20 e 50 é 20/50 = 2/5
Já a razão entre 50 e 20 é 50/20 = 5/2.

Exemplo 2 :
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças.A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 18/24 = 3/4, o que significa qué para cada 3 rapazes há 4 moças.Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total é dada por 18/42 = 3/7 o que equivale a dizer que "de cada 7 alunos na calasse 3 são rapazes".

A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.Na proporção 3/5 = 6/10 (lê-se: 3 está para 5 assim como 6 está para 10).Os número 3 e 10 são chamados Extremos; e os números 5 e 6 são chamados Meios.
Observemos que o produto:
3x10 = 30 e é igual ao produto 5x6 = 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções.
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Exemplo 1 :
Na proporção 2/3 = 6/9, temos 2 e 9 extremos e 3 e 6 meios 2x9 = 3x6 = 18, e em 1/4 = 4/16, temos 4x4 = 1x16 = 16.

Exemplo 2 :
Para determinaarmos o valor de 'x' em x+1/5 = 2x+6/1515(x+1) =
15(x+1) = 5(2x+6 )
15x+15 = 10x+30
15x-10x = 30-15
5x = 15
x = 15/5
x =3