Estatística

Histórico

A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros eram utilizados para principalmente cobrar impostos.


Estatística

A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão.

Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.

Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística.

Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença.

Método Estatístico (Pesquisa)

Exemplos:
- Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto
- As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha
- Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar sua programação
- A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato interfere no planejamento dos treinamentos

A pesquisa é composta basicamente de 5 fases

1) Coleta de Dados
Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo, inicia-se a coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta.

A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos, importação, registros escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de questionários (ex: censo).

A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional

A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex: mortalidade infantil)

2) Crítica dos Dados
Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de não causarem erro nos resultados.

3) Apuração dos Dados
É o processamento dos dados obtidos

4) Exposição dos Dados
Através de tabelas ou gráficos, tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico.

5) Análise dos Resultados

Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e previsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo.

Variável

Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser qualitativa, quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa, quando seus valores são expressos em números.

População

A Estatística parte da observação de grupos, geralmente numerosos, aos quais damos o nome de população ou universo.

Amostra
A população estatística pode ser finita ou infinita.

Tabelas
São quadros que resumem conjuntos de observações.

Gráfico Estatístico
É uma forma de representar dados estatísticos de modo que permita ao pesquisador e ao público em geral, uma percepção rápida e viva dos dados pesquisados.
Portanto, a função do um gráfico é comunicar informações visualmente. Há diferentes tipos de gráficos que, diariamente, podem ser encontrados em jornais, revistas e até na televisão.


Exercícios

1)Dada a tabela, construa os gráficos da tabela em barras múltiplas.

2) A superfície dos cinco oceanos é dada no quadro seguinte:

a) Construa um gráfico de setores.

3) A massa (em quilogramas) de 20 trabalhadores de uma empresa com 100 funcionários está registrada a seguir:
Com base nos dados obtidos, responda:
a) Qual a população e a unidade estatística dessa pesquisa?

b) Qual é sua amostra?


c) Qual é a variável nessa pesquisa?


d) Que freqüências absolutas têm os valores 65 kg, 75 kg, 80 kg e 90 kg ?

4)Numa pesquisa de opnião pública com 800 telespectadores sobre o programa de televisão de sua preferência, obteve-se a seguinte tabela:
I) Construa um quadro com distribuição de freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

II) construa um gráfico de barras verticais e de setores.

5)Um dado foi jogado 20 vezes. Em cada jogada foram obtidos os seguintes numeros:

I) Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

II) Observando a tabela, responda:

a) Quantas vezes o número 3 foi obtido no dado ?
b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5 ?
c) Qual o índice, em porcentagem, em que o número 6 foi obtido no dado ?
Qual o índice de porcentagem, em que números maiores que 4 foram obtidos no dado ?

Série de Pagamentos

SÉRIES DE PAGAMENTOS:

Também conhecido como seqüência de pagamentos, equivalência de capitais ou simplesmente rendas, série de pagamentos é o capítulo de nossa disciplina que se dedica ao estudo da formação de um montante ou da liquidação de uma dívida através de pagamentos parcelados (prestações).
Dentre os vários tipos de séries existentes, vejamos primeiramente a série de pagamentos uniformes.

As principais características das rendas uniformes são:
1ª) As prestações têm que ser iguais e sucessivas durante todo o período da renda;
2ª) Os períodos da renda têm que ser iguais e constantes durante todo o período;
3ª) A taxa envolvida no cálculo de renda tem que ser sempre uma taxa efetiva (taxa
de juros compostos) e compatível com a periodicidade da renda.

Grupos de rendas uniformes:
O cálculo da renda é dividido em dois grupos cuja a identificação se dá pelo cálculo a ser procurado; ou seja, se a procura for para valores presentes (PV) então estamos praticando amortizações.
Se o cálculo estiver voltado à procura de valores futuros (FV) então estamos praticando capitalizações.

-Vejamos o diagrama que representa o cálculo do valor futuro ( FV ) com base na prestação ( PMT ):









Sendo informados uma taxa ( i ), um prazo ( n ) e o valor do pagamento ou prestação ( PMT ) de uma série uniforme de pagamento postecipada, será possível calcular o valor futuro ( FV ) .
















FÓRMULAS




















EXERCÍCIOS

1)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos, daqui a um mês.

2)Determinar o valor das prestações mensais de um financiamento realizado com a taxa efetiva de 2,5% ao mês, sabendo-se que o valor presente é de R$ 1.000,00 e que o prazo é de 4 meses.


3)Qual o valor da motocicleta que está sendo vendida em 6 pagamentos iguais de R$850,00, sendo o primeiro efetuado no ato, a uma taxa de 6% ao mês?



Observemos o seguinte:
a) Como foi definido em “entradas”, o primeiro pagamento se dá no momento 0, ou seja, no ato da compra;
b) A característica mais importante de ser observada é que o PV sempre cairá sobre o
primeiro pagamento, independentemente da posição deste na série.
c) Excluindo o primeiro pagamento, todos os demais sofrem incidência de juros.

4)Qual o valor da prestação que está sendo pedida pela compra de uma geladeira que custa R$1.300,00, financiada em 10 parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra, todas capitalizadas à uma taxa de 151,817% a.a.?

5)Qual o valor do financiamento que está sendo liquidado em cinco pagamentos iguais de R$1.000,00, sendo o primeiro efetuado no ato, capitalizados a 10% ao mês.

6)Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

7)Um produto é comercializado à vista por R$ 500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao mês?

8)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de juros compostos.

9)Uma pessoa realiza depósitos mensais no valor de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança; considerando uma taxa de 0,8% ao mês, e um prazo de trinta anos, qual será o valor acumulado
após este período?

10) Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operação.

11)Determinar o valor de um financiamento realizado à taxa de 1,5% ao mês e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 700,00.

12)Determinar o valor dos depósitos mensais que, quando aplicados à taxa de 2% ao mês, durante 11 meses, produz um montante de R$ R$ 15.000,00.

13)Um produto é comercializado por R$ 1.000,00 a vista. Qual será o valor da prestação, se o comprador financiar em 6 prestações iguais e sem entrada, considerando que a taxa de juros cobrada pela loja é de 5% ao mês?

Desconto Simples e Composto

Desconto Simples

Desconto Comercial Simples (por fora)

O desconto simples comercial pode ser calculado aplicando a seguinte expressão matemática:
Na expressão para cálculo do desconto simples temos:

d = valor do desconto
N = valor nominal do título ( valor futuro)
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)

Então:
d = N . i . n

Com base na expressão para o cálculo do desconto, podemos estabelecer outra expressão matemática capaz de determinar o valor atual comercial, que é dado por:
A = N – d,

lembrando que d = N . i. n.
A = N – N . i. n
A = N(1 – i n)
Obs: A= Valor Atual ( valor presente )

É importante ressaltar que as operações de desconto comercial devem ser efetuadas em períodos de curto prazo, já que em períodos longos o valor do desconto pode ser maior que o valor nominal do título.

Exercícios

1)Um título de R$ 10 000,00 é descontado à taxa de 1,5% ao mês, faltando 25 dias para o vencimento. Determine:

a) o valor do desconto simples comercial.
b) o valor atual comercial do título.

2) Um título no valor de R$ 4 800,00 foi resgatado anterior ao seu vencimento por R$ 4 476,00 e a taxa de desconto comercial utilizada foi de 32,4% ao ano. Determine o tempo de antecipação do resgate.

Desconto Racional Simples (Por Dentro)






Exercícios

1) determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a 135 u.m, pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês.

2) Um título de 200 u.m sofreu o desconto racional de 20% a.a., 4 meses e 12 dias do vencimento. Determine:
a)O desconto
b) Valor atual

3) Qual o valor de um título de valor nominal equivalente a 180 u.m , 3 meses antes do vencimento, pelo desconto de 2% ao mês ?

4) Um título de valor nominal igual a 75 u.m., sofreu o desconto racional de 1,5% a.m., um mês e 17 dias antes do vencimento. Qual o valor atual ?

Desconto Racional Composto (por dentro)

Calcular o desconto racional composto sobre um valor nominal N, obtendo o respectivo valor atual A, é o mesmo que obter o capital C, de um montante M, a juros compostos. Então, por analogia
Se para o cálculo do montante composto dizemos que M = C(1 + i)n , então, para o cálculo do valor atual racional compostos, vamos dizer que:






Onde temos:
A = valor atual (valor Presente )
N = valor nominal (valor Futuro)
i = taxa de desconto
n = tempo (antecipação do desconto)

Exercícios

1) Deseja-se resgatar um título com valor nominal de R$ 8 000,00, faltando 2 meses para o seu vencimento. Determine o valor atual composto, sabendo que a taxa de desconto é igual a 3% ao mês.

2) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento, à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual o valor atual?

3) Resgata-se um título por R$ 1.645,41, com 4 meses de antecedência. Qual o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto?

Desconto Comercial Composto (Por Fora)

Exercício

1) Um título de valor nominal igual a R$ 10 000,00 é resgatado 2 meses antes de seu vencimento segundo o critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa a de desconto composto é de 10% a.m., qual o valor do desconto ?